BZOJ-2301 [HAOI2011]Problem b题解(莫比乌斯反演)

Description

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对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。


Input

第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a、b、c、d、k

Output

共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数

Sample Input

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2
3
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

1
2
14
3

题目大意

中文题干,题意很明显就不说了。

思路

根据题意我们可以写出式子 \[ \displaystyle \sum_{i=a}^{b}{\sum_{j=c}^{d}}[gcd(i,j)=k] \] 由容斥定理我们可以得出
\[ans((a,b),(c,d)) = ans((1,b),(1,d))-ans((1,b),(1,c-1))-ans((1,a-1),(1,d))+ans((1,a-1),(1,c-1))\]
所以我们可以转化为求解以下的式子 \[ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k] \] 我们来推公式
\[ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=k] \] 化简一下 \[ \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)=1] \] 对后面的\([gcd(i,j)=1]\)进行莫比乌斯反演 \[ \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\sum_{d|gcd(i,j)}{\mu(d)} \] 变换一下枚举顺序,将d放在前面 \[ \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor} d|i\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor}d|j \\ \sum_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\mu(d)\lfloor{\frac{n}{dk}}\rfloor\lfloor{\frac{m}{dk}}\rfloor \] 这一个式子我们可以用整除分块来进行求解

代码

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> File Name: P2522.cpp
> Author: TSwiftie
> Mail: 2224273204@qq.com
> Created Time: Wed 11 Sep 2019 02:44:36 PM CST
************************************************************/

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <iomanip>
//#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 5e4+5;
const int MAXM = 2e5+5;
int mu[MAXN],p[MAXN];
bool flg[MAXN];
//筛出莫比乌斯函数
void init(){
int tot = 0;
mu[1] = 1;
for(int i = 2;i < MAXN;i++){
if(!flg[i]){
p[++tot] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 1;j <= tot&&i*p[j] < MAXN;j++){
flg[i*p[j]] = 1;
if(i%p[j]==0){
mu[i*p[j]] = 0;
break;
}
mu[i*p[j]] = -mu[i];
}
}
for(int i = 1;i < MAXN;i++)
mu[i] += mu[i-1];
}
//整除分块计算
int calc(int n,int m){
int res = 0;
for(int i = 1,j;i <= min(n,m);i = j+1){
j = min(n/(n/i),m/(m/i));
res += (mu[j]-mu[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
return res;
}
int main(void){
int T,a,b,c,d,k;
init();
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);
printf("%d\n",calc(b/k,d/k)-calc(b/k,(c-1)/k)-calc((a-1)/k,d/k)+calc((a-1)/k,(c-1)/k));
}
return 0;
}

本文标题:BZOJ-2301 [HAOI2011]Problem b题解(莫比乌斯反演)

文章作者:TSwifite

发布时间:2019年09月11日 - 19:09

最后更新:2019年09月23日 - 08:09

原始链接:http://tswiftie.com/BZOJ-2301-HAOI2011-Problem-b题解-莫比乌斯反演/

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