BZOJ-1010 玩具装箱toy题解(dp+斜率优化)

Description

传送门:BZOJ-1010

P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压 缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过 压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容 器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一 个容器中,那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究, 如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容 器,甚至超过L。但他希望费用最小.


Input

第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

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Sample Ouput

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题目大意

中文题面,不做解释。

思路

很容易可以想到dp,记\(dp[i]\)为前\(i\)个玩具所需的最小花费。那么很容易可以得到状态转移方程\(dp[i] = min(dp[j]+(sum_i-sum_j+i-j-1-L)^2),j \le i\),其中\(sum_i\)表示前\(i\)个玩具压缩的前缀和。直接dp时间复杂度是\(O(n^2)\),考虑斜率优化,记\(b_i = sum_i+i\),那么\(dp[i] = min(dp[j]+(b_i-b_j-(L+1))^2)\),我们假设\(j\)状态比\(k\)状态更优,则\(dp[j]+(b_i-b_j-(L+1))^2 < dp[k]+(b_i-b_k-(L+1))^2\),打开括号整理之后可得\((dp[j]-dp[k]+b_j^2-b_k^2)/(2*(b_j-b_k))\lt b_i-L-1\),用单调队列维护。

代码

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/************************************************************
> File Name: 1010.cpp
> Author: TSwiftie
> Mail: 2224273204@qq.com
> Created Time: Thu 23 Jan 2020 03:10:19 PM CST
************************************************************/

#pragma GCC optimize(2)
#include <bits/stdc++.h>
#include <ext/rope>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lc (o<<1)
#define rc (o<<1|1)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e5+5;
const int MAXM = 2e5+5;
const int MOD = 1e9+7;
const int dir[4][2] = {1,0,-1,0,0,1,0,-1};
const double PI = acos(-1.0);
const double EXP = 1e-8;
int n, L;
int a[MAXN];
ll dp[MAXN],b[MAXN];
int q[MAXN],head,tail;
ll sqr(ll x){
return x*x;
}
double calc(int i,int j){
return ((dp[i]-dp[j])+1.0*b[i]*b[i]-1.0*b[j]*b[j])/(2*(b[i]-b[j]));
}
int main(void){
IOS;
cin >> n >> L;
for(int i = 1;i <= n;i++)
cin >> a[i],b[i] = b[i-1]+a[i];
for(int i = 1;i <= n;i++)
b[i] += i;
b[0] = 0,head = 0,tail = 1;
q[0] = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
ll cmp = b[i]-L-1;
while(head<tail-1 and calc(q[head+1],q[head]) < cmp)
head++;
dp[i] = dp[q[head]] + sqr(b[i]-b[q[head]]-L-1);
while(head<tail-1 and calc(q[tail-1],q[tail-2]) > calc(i,q[tail-1]))
tail--;
q[tail++] = i;
}
cout << dp[n] << endl;
return 0;
}

本文标题:BZOJ-1010 玩具装箱toy题解(dp+斜率优化)

文章作者:TSwifite

发布时间:2020年01月23日 - 15:01

最后更新:2020年01月23日 - 15:01

原始链接:http://tswiftie.com/BZOJ-1010-玩具装箱toy题解-dp-斜率优化/

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